İkinci dərəcəli Polinomları Faktorlamağın 6 Yolu (Kvadrat Tənliklər)

Bir polinom, dərəcə kimi tanınan bir gücə qaldırılan dəyişən (x) və bir neçə şərt və/və ya sabitdən ibarətdir. Bir polinomu faktorlaşdırmaq, ifadəni çoxalan ifadələrə bölmək deməkdir. Bu bilik Cəbr I -dən başlayaraq öyrənilir və təməliniz olmasa başa düşmək çətin ola bilər.

addımlar

Başlayır

Addım 1. İfadəni toplayın

Kvadrat tənliyin standart formatı belədir:

balta² + bx + c = 0

Yuxarıdakı formada olduğu kimi, tənliyin şərtlərini ən böyükdən ən aşağıya qədər sıralamaqla başlayın. Məsələn, götür;

6 + 6x² + 13x = 0

Şərtlərin yerini dəyişdirərək daha asan işlənə bilməsi üçün ifadə yenidən sıralanacaq:

6x² + 13x + 6 = 0

Addım 2. Aşağıdakı üsullardan birini istifadə edərək faktorlanmış forma tapın

Bir polinomu faktorlaşdırmaq, orijinal polinomu çıxarmaq üçün vurula bilən iki kiçik ifadə ilə nəticələnir:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

Bu nümunədə, (2x +3) və (3x + 2), orijinal ifadənin 6x faktorlarıdır² + 13x + 6.

Addım 3. Nəticəni yoxlayın

Müəyyən edilmiş amilləri vurun. Sonra oxşar terminləri birləşdirin. Başlayın:

(2x + 3) (3x + 2)

Çarpmanın paylama xassəsi olaraq da adlandırılan FOIL metodunu (İngiliscə İlk Xarici, İçəridə, Son - əvvəl xaricdə, sonra içəridə) sınayaq:

6x² + 4x + 9x + 6

İndi oxşar şərtlər olduğu üçün 4x və 9x əlavə etmək mümkündür. Faktorların doğru olduğunu bilirsiniz, çünki orijinal tənlik alındı:

6x² + 13x + 6

Metod 1 -dən 6: sınaq və səhv

Çox sadə bir polinomunuz varsa, ona baxaraq faktorları özünüz anlaya bilərsiniz. Məsələn, təcrübədən sonra bir çox riyaziyyatçı 4x ifadəsinin olduğunu təyin edə bilir² + 4x + 1 daha əvvəl bu ifadə ilə çox işlədikdən sonra (2x + 1) və (2x + 1) faktorlarına malikdir. Əlbəttə ki, daha mürəkkəb polinomlarla bu qədər asan olmayacaq. Bu nümunədə daha az ümumi bir ifadə istifadə edəcəyik:

3x² + 2x - 8

Addım 1. a və c terminləri üçün faktorları sadalayın

Standart balta formatından istifadə etməklə² + bx + c = 0, a və c şərtlərini müəyyənləşdirin və faktorlarını sadalayın. 3x üçün² + 2x - 8, bu deməkdir:

a = 3 və bir sıra amillərə malikdir: 1 * 3

c = -8 və dörd amil dəstinə malikdir: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 və -1 * 8.

Addım 2. İki boş parantez yığın

Onları hər ifadənin sabitləri ilə dolduracaqsınız:

(x) (x)

Addım 3. X -in qarşısındakı boşluqları dəyər üçün bir neçə mümkün faktorla doldurun

İstifadə olunan nümunədə a termini üçün 3x², yalnız bir ehtimal var:

(3x) (1x)

Addım 4. x -dən sonra iki boşluğu sabitlər üçün bir cüt faktorla doldurun

Tutaq ki, 8 və 1 rəqəmlərini seçmisiniz.

(3x

Addım 8.)(

Addım 1

Addım 5. X dəyişənləri ilə ədədlər arasında hansı işarələrin (toplama və ya çıxma) getməli olduğuna qərar verin

Orijinal ifadədəki işarələrdən asılı olaraq sabitlərin işarələrinin nə olması lazım olduğunu anlamaq mümkündür. İki h və k faktorunun iki sabitini çağıraq:

əgər x² + bx + c, sonra (x + h) (x + k)

əgər x² - bx - c və ya balta² + bx - c, sonra (x - h) (x + k)

əgər x² - bx + c, sonra (x - h) (x - k)

Məsələn, 3x² + 2x - 8, işarələr: (x - h) (x + k) olmalıdır, nəticədə iki faktorla nəticələnir:

(3x + 8) və (x - 1)

Addım 6. Dağıtım xüsusiyyətindən istifadə edərək seçimləri sınayın

Çalışdırmaq üçün ilk sürətli test, orta şərtlərin düzgün dəyərlərə uyğun olub olmadığını yoxlamaqdır. Əks təqdirdə, c üçün səhv faktorları seçmiş ola bilərsiniz. Cavabı sınayaq:

(3x + 8) (x - 1)

Çarpma apararkən əldə edəcəksiniz:

3x² - 3x + 8x - 8

Bu ifadəni oxşar (-3x) və (8x) terminlərin cəmi ilə sadələşdirərək əldə edirsiniz:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

İndi bilirik ki, səhv faktorları müəyyən etməliyik:

3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8

Addım 7. Gerekirse faktorları dəyişdirin

İstifadə olunan nümunədə 1 və 8 əvəzinə 2 və 4 istifadə etməyə çalışaq:

(3x + 2) (x - 4)

İndi c termini -8 -ə bərabərdir, lakin xarici/daxili məhsul (3x * -4) və (2 * x) -12x və 2x -ə bərabərdir, +2x -in düzgün b termini yaratmaq üçün birləşdirilməyəcək.

-12x + 2x = 10x

10x2x

Addım 8. Gerekirse sifarişi geri çevirin

2 və 4 -ü hərəkət etdirməyə çalışaq:

(3x + 4) (x - 2)

İndi c termini (4 * 2 = 8) hələ də doğrudur, ancaq xarici/daxili məhsullar -6x və 4x -dir. Onları birləşdirərək:

-6x + 4x = 2x

2x ≠ -2x 2x -ə yaxınlaşırıq, amma siqnal səhvdir.

Addım 9. Gerekirse işarələri yoxlayın

Eyni qaydada qalın, ancaq eksi işarəsi olanı dəyişdirin:

(3x - 4) (x + 2)

İndi c termini hələ də doğrudur, lakin xarici/daxili məhsullar (6x) və (-4x) -dir. Kimi:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Artıq 2x pozitiv termini orijinal problemdən tanımaq mümkündür. Bunlar doğru faktorlar olmalıdır.

Metod 2 /6: Parçalanma

Bu üsul a və c terminləri üçün mümkün olan bütün faktorları müəyyənləşdirir və faktorların nə olması lazım olduğunu anlamaq üçün istifadə edir. Rəqəmlər çox böyükdürsə və ya digər üsullar daha mürəkkəb görünürsə, bu üsuldan istifadə edin. Misaldan istifadə edək:

6x² + 13x + 6

Addım 1. a və c terminlərini vurun

Bu nümunədə hər ikisi 6 -ya bərabərdir.

6 * 6 = 36

Addım 2. Faktorinq və test yolu ilə b termininin dəyərini tapın

A * c məhsulunun faktorları olan və eyni zamanda b (13) müddətinə bərabər olan iki ədəd tapmalısınız.

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Addım 3. Tənlikdə alınan iki rəqəmi b termininin cəmi olaraq əvəz edin

Əldə etdiyimiz 4 və 9 ədədlərini təmsil etmək üçün k və h istifadə edək:

balta² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Addım 4. Polinomu qruplaşdırmaqla faktorlayın

İlk iki və son iki terminin ən böyük ortaq faktorunu ayırd edə biləcəyiniz üçün tənliyi düzün. Hər iki faktor qrupu eyni olmalıdır. Ən böyük ümumi faktorları əlavə edin və faktorlu qrupun yanında mötərizədə yerləşdirin; nəticə iki faktor olacaq:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metod 3 /6: Üçlü Maç

Dekompozisiyaya bənzər şəkildə "üçqat başlanğıc" üsulu a və c terminlərinin məhsullarının mümkün faktorlarını araşdırır, sonra b dəyərini tapmaq üçün onlardan istifadə edir. Məsələn, aşağıdakı tənliyi nəzərdən keçirin:

8x² + 10x + 2

Addım 1. a və c terminlərini vurun

Bu, b müddətinin imkanlarını və parçalanma metodunu təyin etməyə kömək edəcək. Bu nümunədə 8 bərabərdir və c 2 -yə bərabərdir.

8 * 2 = 16

Addım 2. Məhsulu və cəmi b termininə bərabər olan ədədlərlə iki ədəd tapın

Bu addım parçalanma metodu ilə eynidır - sabit namizədləri sınamalı və rədd etməlisiniz. A və c şərtlərinin məhsulu 16 -dır və c termini 10 -a bərabərdir:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Addım 3. Bu iki rəqəmi götürün və "üçlü matç" düsturunda onların əvəz olunmasını sınayın

Əvvəlki addımdakı iki rəqəmi götürək - h və k deyək - və bu ifadəyə qoyaq:

((ax + h) (ax + k)) / a

Bu vəziyyətdə əldə edəcəyik:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Addım 4. Baxın, saydakı iki termindən hansına bərabər bölünür

Bu nümunədə, (8x + 8) və ya (8x + 2) nin 8 -ə bölünə biləcəyini sınayırıq. (8x + 8) 8 -ə bölünür, buna görə də bu termini a -ya bölək və digərlərini olduğu kimi buraxaq..

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Bu vəziyyətdə qənaət etdiyimiz müddət a termininin bölünməsinin qalan hissəsidir: (x + 1)

Addım 5. Əgər varsa, bir və ya hər iki termin üçün ən böyük ortaq faktoru götürün

Bu nümunədə, 8x + 2 = 2 (4x + 1) olduğundan ikinci termin ən böyük ümumi faktor olaraq 2 rəqəminə malikdir. Bu cavabı əvvəlki addımda müəyyən edilmiş terminlə uyğunlaşdırın. Bunlar tənlikdəki amillərdir.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metod 4 -dən 6: İki kökün fərqi

Polinomlardakı bəzi əmsallar "köklər" və ya iki ədədin məhsulu olaraq təyin edilə bilər. Bu kökləri müəyyən etmək, polinomları daha tez faktorlaşdırmağa imkan verir. Tənliyi nəzərdən keçirin:

27x² - 12 = 0

Addım 1. Mümkünsə ən böyük ümumi faktor

Bu vəziyyətdə, 27 və 12 -nin hər ikisinin 3 -ə bölündüyünü görə bilərik, bunları ayıraq:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Addım 2. Tənliyin əmsallarının kvadrat ədəd olub olmadığını müəyyənləşdirin

Bu üsuldan istifadə etmək üçün terminlərin tam kvadrat kökünü əldə etməlisiniz. Diqqət yetirin ki, mənfi işarələr kənarda qalır, çünki bu ədədlər iki müsbət və ya mənfi ədədin məhsulu ola biləcək kvadratlardır.

9x² = 3x * 3x və 4 = 2 * 2

Addım 3. Müəyyən edilmiş kvadrat köklərdən istifadə edərək faktorları yazın

A və c dəyərlərini yuxarıdakı addımdan (a = 9 və c = 4) götürün və kvadrat köklərini hesablayın - √ a = 3 və √ c = 2. Bunlar ifadələrin faktor əmsalları olacaq:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metod 5 -dən 6: Kvadrat Düstur

Digər üsullar uğursuz olarsa və tənlik bərabər bölünməzsə, kvadratik düsturdan istifadə edin. Aşağıdakı nümunəni nəzərdən keçirin:

x² + 4x + 1 = 0

Addım 1. Müvafiq dəyərləri kvadratik düsturla əvəz edin:

x = -b ± √ (b² - 4c)

---------------------

2 -ci

İfadəni alırıq:

x = -4 ± √ (4² - 4•1•1) / 2

Addım 2. x -in dəyərini hesablayın

X üçün iki dəyər almalısınız. Yuxarıda göstərildiyi kimi iki cavab alırıq:

x = -2 + √ (3) və ya x = -2 -√ (3)

Addım 3. Faktorları hesablamaq üçün x dəyərlərindən istifadə edin

X dəyərlərini əvəz edin. Faktor onlar olacaq. İki cavabı h və k olaraq təyin etsək, faktorları aşağıdakı kimi yazmalıyıq:

(x - h) (x - k)

Bu vəziyyətdə son cavab:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metod 6 /6: Kalkulyatordan istifadə

İstifadə etmək mümkündürsə, bir qrafik kalkulyatoru, xüsusən testlərdə faktoring prosesini xeyli asanlaşdırır. Aşağıdakı təlimatlar bir qrafik kalkulyatoru üçündür. Aşağıdakı nümunəni nəzərdən keçirin:

y = x² - x - 2

Addım 1. Kalkulyatora tənliyi daxil edin

[Y =] ekranı olaraq da bilinən bir tənlik həll edəndən istifadə edəcəksiniz.

Addım 2. Kalkulyatorda tənliyin qrafikini çəkin

Tənliyi yazdıqdan sonra [GRAPH] düyməsini basın - tənliyi təmsil edən bir qövs görməlisiniz (və polinomlarla məşğul olduğumuz üçün bir qövs olacaq).

Addım 3. Arxın x oxu ilə kəsişdiyi yerə baxın

Polinom tənlikləri ümumiyyətlə balta olaraq yazıldığından² + bx + c = 0, ifadəni sıfıra bərabər edən x -in iki dəyəri bunlardır:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Qrafikin x oxunu kəsdiyi yeri müəyyən edə bilmirsinizsə, [2] və sonra [İZLƏ] düymələrinə basın. [2] düyməsini basın və ya "sıfır" seçin. Kursoru kəsişmənin soluna sürüşdürün və [ENTER] düyməsini basın. Kursoru kəsişmənin sağına sürüşdürün və [ENTER] düyməsini basın. Kursoru kəsişməyə yaxın sürüşdürün və [ENTER] düyməsini basın. Kalkulyator x -in dəyərini tapacaq. Digər kəsişmə üçün də eyni şeyi edin

Addım 4. Əvvəlki addımda alınan x dəyərlərini iki faktor ifadəsi ilə əvəz edin

X (h və k) iki dəyərini istifadə edərkən, ifadə aşağıdakı kimi olacaq:

(x - h) (x - k) = 0

Buna görə də iki amil olmalıdır:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

İpuçları

• TI-84 (qrafik) kalkulyatorunuz varsa, kvadrat tənliyi həll edən "SOLVER" adlı bir proqram var. Digər dərəcə polinomlarını da həll edir.
• Əgər bir termin yoxdursa, əmsal 0 -dır. Əgər varsa, tənliyi yenidən yazmaq faydalı ola bilər, məsələn: x² + 6 = x² + 0x + 6.
• Kvadratik düsturdan istifadə edərək bir polinom yaratdıysanız və radikallarla cavab aldıysanız, yoxlamaq üçün x dəyərlərini fraksiyalara çevirin.
• Terimin yazılı əmsalı yoxdursa, 1, yəni x olacaq² = 1x².
• Bir çox təcrübədən sonra, nəticədə başınızdakı polinomları ayırd edə biləcəksiniz. O vaxta qədər bunları kağız üzərində yazın.

Bildirişlər