İki matrisin necə vurulacağını bilmək, bir matrisi digərinə "bölməyi" öyrənməyin yarısıdır. "Bölmə" sözü tırnak işarələri ilə yazılmışdır, çünki seriallar texniki olaraq bölünə bilməz. Bunun əvəzinə bir matrisi digərinin tərsinə vurmaq lazımdır. Bu qəribə səslənirsə, bu fikri daha ümumi riyazi anlayışlar baxımından düşünün: 10 ÷ 5 hesablamaq əvəzinə 5 -in tərsini götürə bilərsiniz (5-1 və ya 1/5), 10 x 5 hesablayın-1 və eyni cavabı alın. Buna görə də matrisin tərsinə vurma, riyaziyyatın bu sahəsindəki bölünməyə ən yaxın proses hesab olunur. Bu hesablamalar ümumiyyətlə xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün istifadə olunur.
Sürətli bələdçi
- Matris bölgüsü üçün heç bir tərif yoxdur. Bunun əvəzinə birinci matrisi ikincinin tərsinə vurun. Problemi [A] ÷ [B] [A] * [B] olaraq yenidən yazın-1 və ya [B]-1 * [A].
- Əgər [B] matrisi kvadrat deyilsə və ya onun determinantı sıfıra bərabərdirsə, "tək həll yoxdur" yazın. Əks təqdirdə, [B] determinantını tapın və növbəti addıma davam edin.
- [B] dəyərini hesablayın-1 ([B] tərsi).
- [A] * [B] hesablamaq üçün matrisləri vurun.-1 və ya [B]-1 * [A]. Bunun eyni cavabla nəticələnməyəcəyini unutmayın.
addımlar
3 -dən 1 -ci hissə: "Bölünmənin" mümkün olduğunu təsdiqləmək
Matrisləri bölün Adım 1 Addım 1. "split" matrisini anlayın
Texniki baxımdan belə bir anlayış yoxdur. Bir matrisi digərinə bölmək qeyri -müəyyən bir funksiyadır. Ən yaxın ekvivalent başqa bir matrisin tərsinə vurulmasıdır. Başqa sözlə, [A] ÷ [B] müəyyən edilməsə də, [A] * [B] hesablamaq mümkündür.-1. İki tənlik skalyar böyüklükdə ekvivalent olacağından, bu matris bölünməsinə bənzəyir, ancaq düzgün terminologiyadan istifadə etmək vacibdir.
- Qeyd edək ki, [A] * [B]-1 və [B]-1 *[A] eyni problem deyil. Mümkün həlləri tapmaq üçün hər ikisini hesablamalı ola bilərsiniz.
- Məsələn, (13263913) ÷ (7423) yerinə { displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 \ 39 & 13 \ end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 \ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}
, escreva (13263913)∗(7423)−1{displaystyle {begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}}
Você também pode precisar calcular (7423)−1∗(13263913){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}*{begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}}
, que pode ter uma resposta diferente.
Matrisləri bölün 2 -ci addım Addım 2. "Bölücü matrisin" kvadrat olduğunu yoxlayın
Bir matrisin tərsini əldə etmək üçün, eyni sayda satır və sütun olan kvadrat olmalıdır. Əks təqdirdə, problemin tək həll yolu yoxdur.
- "Bölmə matrisi" termini texniki baxımdan bölmə problemi olmadığı üçün bir qədər qeyri -müəyyəndir. [A] * [B] tərəfə-1, bu [B] matrisinə aiddir. İstifadə olunan nümunədə, matris (7423) { displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 \ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}
Matrisləri bölün Adım 3 Addım 3. İki matrisin birlikdə vurula biləcəyini yoxlayın
Bunun üçün birinci matrisdəki sütunların sayı ikinci matrisdəki satırların sayına bərabər olmalıdır. Ayarların heç birində işləmirsə ([A] * [B]-1 və ya [B]-1 * [A]), onda problemin həlli yoxdur.
- Məsələn, [A] 4 x 3 matris və [B] 2 x 2 matrisdirsə, onda heç bir həll yoxdur. [A] * [B]-1 4 ≠ 2 -dən bəri hesablana bilməz və [B]-1 * [A] də deyil, çünki 2 ≠ 3.
- Qeyd edək ki, [B] tərsinə-1 həmişə orijinal matris [B] ilə eyni sayda satır və sütuna malikdir. Bu addımı tamamlamaq üçün tərsini hesablamaq lazım deyil.
- İstifadə olunan nümunədə hər iki matris 2 x 2 -dir, buna görə də istənilən qaydada vurula bilərlər.
Matrisləri bölün Adım 4 Addım 4. 2 x 2 matrisin determinantını tapın
Bir sıra tərsini əldə etməzdən əvvəl yoxlamaq üçün daha bir tələb var. Onun determinantı sıfır ola bilməz. Əks təqdirdə, matrisin tərsi olmayacaq. Ən sadə halda 2 x 2 matrisdə determinantı necə tapmaq olar:
-
2 x 2 matris:
(abcd) { displaystyle { begin {pmatrix} a & b \ c & d \ end {pmatrix}}} determinantı
é ad - bc. Em outras palavras, pegue o produto da diagonal principal (do canto superior esquerdo para ao canto inferior direito), depois subtraia o produto da diagonal inversa (do canto superior direito para ao canto inferior esquerdo).
- Por exemplo, a matriz (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}}
tem o determinante (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Ele não é o número zero, então é possível encontrar o inverso.
- 3 x 3 matris: hər hansı bir element seçin və mənsub olduğu sətir və sütunun üstündən xətt çəkin. Qalan 2 x 2 matrisin determinantını tapın, seçilmiş elementlə vurun və işarəni müəyyən etmək üçün matris qrafikinin işarəsinə baxın. İlk seçilmiş elementlə eyni sətirdə və ya sütunda növbəti iki element üçün bu addımı təkrarlayın, sonra üç determinantı birlikdə əlavə edin. Bu prosesi sürətləndirmək üçün addım-addım təlimatlar və məsləhətlər üçün bu məqaləni oxuyun.
- daha böyük matrislər: Bir qrafik kalkulyatoru və ya proqramdan istifadə etmək məsləhətdir. Metod 3 x 3 matrisinə bənzəyir, ancaq əllə etmək daha uzun çəkir. Məsələn, 4 x 4 matrisin determinantını tapmaq üçün dörd 3 x 3 matrisin determinantlarını tapmaq lazımdır.
- (7423) { displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 \ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}
→ (3427){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}}
-
Observação:
a maioria das pessoas usa uma calculadora para encontrar o inverso de uma matriz 3 x 3 ou maior. Se quiser fazer o cálculo à mão, consulte o final da seção.
- (3427) { displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 \ 2 & 7 \ end {pmatrix}}}
→ (3−4−27){displaystyle {begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}}
- Misalda, determinant 13 -dir. Qarşılığı 113 { displaystyle { frac {1} {13}}}
- 113 ∗ (3−4−27) { displaystyle { frac {1} {13}}*{ begin {pmatrix} 3 & -4 \-2 & 7 \ end {pmatrix}}}
=(313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}
- Para o exemplo utilizado, multiplique (313−413−213713)∗(7423)=(1001){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
- Veja o artigo Como Multiplicar Matrizes caso precise de ajuda.
- Observação: a multiplicação de matriz não é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores influencia no resultado. No entanto, ao multiplicar uma matriz pelo seu inverso, ambas as opções vão resultar na matriz identidade.
- I şəxsiyyət matrisini matrisinizin sağına yerləşdirin. Məsələn, [B] → [B | Mən]. Şəxsiyyət matrisində əsas diaqonal ilə birlikdə "1" elementi və digər mövqeləri olmayan "0" elementi var.
- Matrisin sol tərəfi ölçülü olana qədər azaltmaq üçün sətiraltı əməliyyatlar aparın, sonra sol tərəf şəxsiyyət matrisi ilə eyni olana qədər azalmağa davam edin.
- Əməliyyatın sonunda matris [I | B-1]. Başqa sözlə, sağ tərəf orijinal matrisin tərsi olacaq.
- [A] * [B]-1 x [B] = [A] probleminin x həllidir.
- [B]-1 * [A], [B] x = [A] probleminin x həllidir.
- Bu bir tənliyin bir hissəsidirsə, hər iki tərəfdən eyni əməliyyatı yerinə yetirin. Əgər [A] = [C], onda [B]-1[THE] yox [C] [B] bərabərdir-1, çünki [B]-1 [A] nın sol tərəfində, ancaq [C] nin sağ tərəfindədir.
- Orijinal problemə qayıdaraq, hər ikisi (13263913) { displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 \ 39 & 13 \ end {pmatrix}}}
quanto (313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}
são matrizes 2 x 2, então as dimensões da resposta também serão 2 x 2.
-
Para usar um exemplo mais complicado, se [A] é uma matriz
Passo 4. x 3 e [B]-1 é uma matriz 3
Passo 3., então a matriz [A] * [B]-1 possui dimensões 4 x 3.
- [A] [B] 1 -ci sətir və 1 -ci sütunu tapmaq üçün-1, [A] 1 sətirinin və [B] sütununun nöqtə məhsulunu tapın-1 2. Yəni 2 x 2 matris üçün a1, 1 ∗ b1, 1+a1, 2 ∗ b2, 1 { displaystyle a_ {1, 1}*b_ {1, 1}+a_ {1, 2 hesablayın }*b_ {2, 1}}
- No exemplo utilizado (13263913)∗(313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}
- (13263913) ∗ (313−413−213713) = (- 1107−5) { displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 \ 39 & 13 \ end {pmatrix}}*{ begin {pmatrix} { frac {3} {13}} və { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} son {pmatrix}} = { başlayın {pmatrix} -1 və 10 \ 7 & -5 \ son {pmatrix}}}
- caso precise encontrar outra solução, (313−413−213713)∗(13263913)=(−92193){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\\19&3\end{pmatrix}}}
- você pode dividir uma matriz por uma grandeza escalar dividindo cada elemento da matriz pela grandeza.
- por exemplo, a matriz (6824){displaystyle {begin{pmatrix}6&8\\2&4\end{pmatrix}}}
dividida por 2 = (3412){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}}
- as calculadoras nem sempre são 100% precisas no que diz respeito aos cálculos de matrizes. por exemplo, se a calculadora informa que um elemento é um número muito pequeno (2e-8, por exemplo), é provável que o valor seja zero.
Addım 5. Daha böyük bir matrisin determinantını tapın
Matris 3 x 3 və ya daha böyükdürsə, determinantı tapmaq üçün bir az daha çox iş görmək lazımdır:
Addım 6. Davam edin
Matris kvadrat deyilsə və ya onun determinantı sıfıra bərabərdirsə, "tək həll yoxdur" yazın. Problem tamamdır. Matris kvadratdırsa və sıfır olmayan bir determinant varsa, növbəti addımı öyrənmək üçün növbəti hissəyə keçin: tərsini tapmaq.
3 -dən 2 -ci hissə: Bir sıra çevirmək
Addım 1. 2 x 2 əsas diaqonal elementin mövqelərini dəyişdirin
Matris 2 x 2 olarsa, bu hesablamanı xeyli asanlaşdırmaq üçün qısa yoldan istifadə edə bilərsiniz. Bu qısa yolda ilk addım sol üst künc elementini sağ alt künc elementi ilə dəyişdirməkdir. Misal üçün:
Addım 2. Digər iki elementin əksini götürün, ancaq mövqeyində buraxın
Başqa sözlə, yuxarı "sağ" və aşağı "sol" künclərdəki elementləri -1 ilə vurun:
Addım 3. Determinantın qarşılığını götürün
Bu matrisin determinantını yuxarıdakı bölmədə tapdınız, buna görə bir daha etmək lazım deyil. Qarşılıqlı 1 / (determinant) yazın:
Addım 4. Yeni matrisi determinantın qarşılığı ilə vurun
Yeni matrisin hər bir elementini yeni hesablanmış qarşılıqlı ilə vurun. Yaranan matris 2 x 2 matrisinin tərsidir:
Addım 5. Ters çevrilmənin düzgün olub olmadığını yoxlayın
Bunu etmək üçün tərsini orijinal matrislə vurun. Tərs doğru olarsa, məhsul həmişə matrislə eyni olacaq, (1001) { displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}
. Se estiver tudo certo, continue com a próxima seção para terminar o problema.
Addım 6. 3x3 və ya daha böyük bir matrisi necə çevirmək olar, bu yazıda baxın
Bu prosesi ilk dəfə öyrənməsəniz, daha böyük matrislərlə riyaziyyat etmək üçün bir qrafik kalkulyatoru və ya riyaziyyat proqramı istifadə edərək vaxta qənaət edin. Hesablamanı əllə etmək lazım deyilsə, bir üsul üçün sürətli bir bələdçiyə baxın:
3 -dən 3 -cü hissə: Problemi başa çatdırmaq üçün matrisləri vurmaq
Addım 1. İki mümkün tənliyi yazın
Skalar kəmiyyətləri olan "ümumi riyaziyyat" da vurma kommutativdir; 2 x 6 = 6 x 2. Ancaq matrislər üçün eyni deyil, buna görə iki problemi hesablamalısınız:
Addım 2. Cavabın ölçülərini tapın
Son matrisin ölçüləri iki faktorun xarici ölçüləridir. Birinci matrislə eyni sayda satır və ikinci matrislə eyni sayda sütuna malikdir.
Addım 3. Birinci elementin dəyərini hesablayın.
Daha ətraflı təlimatlar üçün yuxarıdakı məqaləyə baxın və ya aşağıdakı xülasə ilə yaddaşınızı yeniləyin:
, a linha 1 coluna 1 da resposta é:
(13∗313)+(26∗−213){displaystyle (13*{frac {3}{13}})+(26*{frac {-2}{13}})}
=3+−4{displaystyle =3+-4}
=−1{displaystyle =-1}
Addım 4. Matrisdəki hər mövqe üçün nöqtə məhsulu prosesini təkrarlayın
Məsələn, 2, 1 mövqesindəki element [A] 2 və [B] sütununun nöqtə məhsuludur.-1 1. Nümunəni özünüz tamamlamağa çalışın. Aşağıdakı cavabları almalısınız: