Döngəyə toxunan bir xəttin tənliyini necə tapmaq olar

Düz xətdən fərqli olaraq, əyrinin yamacı qrafik boyunca hərəkət edərkən daim dəyişir. Calculus, şagirdləri bu qrafikdəki hər bir nöqtənin bir yamac və ya "ani dəyişmə dərəcəsi" kimi təsvir edilə biləcəyi anlayışı ilə tanış edir. Teğet xətt, qrafikdəki eyni nöqtədən keçən yamaca nisbətən düz bir xəttdir. Tangens tənliyin nə olduğunu öyrənmək üçün orijinal tənliyin törəməsini necə çıxarmaq lazım olduğunu bilməlisiniz.

addımlar

Metod 1 /2: Bir teğetin tənliyini tapmaq

Addım 1. Funksiyanı və teğetini eskiz edin (tövsiyə olunur)

Cədvəl problemi izləməyə və cavabın mənalı olub olmadığını görməyə kömək edir. Lazım gələrsə, bir kalkulyatordan istifadə edərək funksiyanı bir qrafik kağız üzərində eskiz edin. Verilən nöqtədən keçən teğet çəkin (bu nöqtədən keçdiyini və oradakı qrafiklə eyni yamacda olduğunu unutmayın).

Misal 1:

F (x) = 0, 5x2+3x − 1 { displaystyle f (x) = 0, 5x^{2}+3x-1} parabolasının qrafikini çəkin

. Desenhe a tangente que passa pelo ponto (-6, 1).

Você ainda não conhece a equação da tangente, mas pode observar que o declive é negativo e que sua intercepção y é também negativa (bem abaixo do vértice da parábola, com valor y = -5, 5). Se a sua resposta final não for igual a esses detalhes, você poderá conferir os cálculos em busca de erros.

Addım 2. Teğetin yamacının tənliyini tapmaq üçün birinci dərəcəli törəmə alın

F (x) funksiyası üçün ilk f '(x) törəməsi f (x) hər hansı bir nöqtədə teğetin yamacının tənliyini təmsil edir. Əldə etməyin bir çox yolu var. Güc qaydasını istifadə edən sadə bir nümunə:

Misal 1 (davamı):

qrafik f (x) = 0, 5x2+3x − 1 { displaystyle f (x) = 0, 5x^{2}+3x-1} funksiyası ilə təsvir edilmişdir

Lembre-se da regra das potências ao fazer derivadas: ddxxn=nxn−1{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}

A primeira derivada da função será igual a f'(x) = (2)(0, 5)x + 3 - 0.

f'(x) = x + 3. Insira qualquer valor “a” para o x dessa equação e o resultado será igual ao declive da tangente de f(x) no ponto em que x = a.

Addım 3. Araşdırılacaq nöqtənin x dəyərini daxil edin

Tangensini tapmaq istədiyiniz nöqtənin koordinatlarını tapmaq üçün problemi oxuyun. Bu nöqtənin x koordinatını f '(x) daxil edin. Nəticə, bu nöqtədə teğetin yamacı olacaq.

Misal 1 (davamı):

problemdə qeyd olunan nöqtə (-6, -1) dir. F '(x) -də müstəqil dəyişənin dəyəri olaraq x = -6 koordinatını istifadə edin:

f '(-6) = -6 + 3 = -3

Teğetin yamacı -3 -ə bərabərdir.

Addım 4. Tangens tənliyi fundamental formada yazın

Xətti tənliyin əsas forması y-y1 = m (x-x1) { displaystyle y-y_ {1} = m (x-x_ {1})} ilə təmsil olunur.

, onde m representa o declive (coeficiente angular da reta) e (x1, y1){displaystyle (x_{1}, y_{1})}

representa um ponto da reta. Agora, você tem toda a informação necessária para escrever a equação da tangente nessa forma.

Exemplo 1 (cont.):

y−y1=m(x−x1){displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}

O coeficiente angular da reta é igual a -3 e, por isso, y−y1=−3(x−x1){displaystyle y-y_{1}=-3(x-x_{1})}

A tangente passa pelo ponto (-6, -1), de modo que a equação final pode ser representada por y−(−1)=−3(x−(−6)){displaystyle y-(-1)=-3(x-(-6))}

Simplifique-a para y+1=−3x−18{displaystyle y+1=-3x-18}

y=−3x−19{displaystyle y=-3x-19}

Addım 5. Qrafikinizdəki tənliyi təsdiq edin

Bir qrafik kalkulyatorunuz varsa, nəticənin doğru olduğunu yoxlamaq üçün orijinal funksiyanı və teğetini yığın. Kağız üzərində işləyirsinizsə, cavabda heç bir səhv olmadığından əmin olmaq üçün əvvəlki cədvələ qayıdın.

Misal 1 (davamı):

ilkin eskiz, teğetin yamacının mənfi olduğunu və y -kəsilməsinin -5 -dən xeyli aşağı olduğunu ortaya qoydu 5. Tapdığımız teğet tənliyi, -3 -ü ifadə edən əsas formada y = -3x -19 ilə təmsil olunur yamac və -19, y -kəsişmə. Hər iki xüsusiyyət ilkin proqnozlarla eynidir.

Addım 6. Daha çətin bir problemi həll etməyə çalışın

İşdə bir daha bütün prosesin təqibi. İndi məqsəd f (x) = x3+2x2+5x+1 { displaystyle f (x) = x^{3}+2x^{2}+5x+1} teğetini tapmaqdır.

em x = 2:

Com a regra das potências, a derivada primeira será igual a f′(x)=3x2+4x+5{displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+5}

. Essa função nos mostrará qual é o declive da tangente.

Uma vez que x = 2, encontre f′(2)=3(2)2+4(2)+5=25{displaystyle f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25}

. Esse é o declive da função quando x = 2.

Observe que não temos o valor do ponto nesse momento, mas apenas uma coordenada x. Para descobrir qual é a coordenada y, insira x = 2 na função inicial: f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27{displaystyle f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27}

. O ponto será (2, 27).

Escreva a equação da tangente na forma fundamental: y−y1=m(x−x1){displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}

y−27=25(x−2){displaystyle y-27=25(x-2)}

Se necessário, simplifique-a para y = 25x - 23.

Método 2 de 2: Solucionando problemas relacionados

Addım 1. Qrafikin həddindən artıq nöqtələrini tapın

Bunlar qrafikin yerli maksimuma (hər hansı bir tərəfdəki nöqtələrdən daha yüksək nöqtə) və ya yerli minimuma (hər tərəfdəki bütün nöqtələrdən aşağı) çatdığı nöqtələrdir. Bu nöqtədə (üfüqi xətt) teğet hər zaman 0 -a bərabər bir yamacda olacaq və bu mütləq həddindən artıq nöqtəni göstərmir. Onları burada tapmağı öyrənin:

F '(x) əldə etmək funksiyasının ilk törəməsini tapın, teğetin yamacının tənliyi.
Mümkün olan həddindən artıq nöqtələri tapmaq üçün f '(x) = 0 həll edin.
İkinci türevi f '' (x) almaq üçün götürün, bu teğetin yamacının nə qədər tez dəyişdiyini bildirir.
Hər bir mümkün hədd üçün x = a koordinatını f '' (a) daxil edin. Əgər f '' (a) dəyəri müsbət olarsa, a -da lokal minimum var. F '' (a) dəyəri mənfi olarsa, bu lokal maksimumdur. F '' (a) dəyəri 0 -a bərabərdirsə, həddindən artıq nöqtə deyil, əyilmə nöqtəsi var.
A-da maksimum və ya minimum varsa, y koordinatının nə olduğunu bilmək üçün f '' (a) dəyərini tapın.

Addım 2. Normal tənliyi tapın

Müəyyən bir nöqtədəki yamacın "normal" ı bu nöqtədən keçir, ancaq teğetə dik bir yamacına malikdir. Normalın tənliyini tapmaq üçün, hər ikisi də qrafikdə eyni nöqtədən keçdikdə, məhsulun (teğet meyli). (Normal meyl) = -1 olmasından istifadə edin. Başqa sözlə:

Tanjantın yamacı olan f '(x) tapın.
Nöqtə x = a -dadırsa, o yerdəki teğetin yamacını tapmaq üçün f '(a) tapın.
−1f ′ (a) { displaystyle { frac {-1} {f '(a)}}} hesablayın

para encontrar o declive da normal.
escreva a equação normal na forma fundamental.