Trinomialları Faktorlamağın 3 Yolu

Trinomial, üç termindən ibarət cəbr ifadəsidir. Çox güman ki, axt şəklində yazılmış üçbucaqlı olan kvadratik üçbucaqlıları hesablamağı öyrənəcəksiniz² + bx + c. Müxtəlif növ üçbucaqlı növlərə tətbiq oluna biləcək bir neçə fənd var, amma təcrübə ilə daha yaxşı və daha sürətli əldə edəcəksiniz. Kimi terminlərlə daha yüksək dərəcə polinomları³ və ya x⁴, həmişə eyni üsullarla həll edilə bilməz, ancaq hər hansı bir kvadratik düsturla həll edilə bilən problemlərə çevirmək üçün tez -tez sadə faktorizasiyaya və ya termini əvəz etməyə müraciət edə bilərsiniz.

addımlar

Metod 3 -dən 1: Faktorinq x² + bx + c

Addım 1. Dağıtım xüsusiyyətini öyrənin (ingilis dilində FOIL olaraq da bilinir) , (x+2) (x+4) kimi ifadələri çoxaltmaq.

Faktorinqə başlamazdan əvvəl bunun necə işlədiyini bilmək yaxşıdır:

çoxaltmaq birinci şərtlər: (x+2)(x+4) = x² + __
Şərtlərini vurun kənarda: (x+2) (x+

Addım 4.) = x²+ 4x + __
Şərtlərini vurun içəri: (x+

Addım 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + __
çoxaltmaq sonuncu şərtlər: (x+

Addım 2.) (x

Addım 4.) = x²+4x+2x

Addım 8.
Sadələşdirin: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Addım 2. Faktorizasiyanı anlayın

Distributivdən istifadə edərək iki binomialı çoxaltdığınızda, a x formalı bir üçlü (üç müddətli ifadə) ilə nəticələnirsiniz.²+ b x+ c, burada "a", "b" və "c" ümumi ədədlərdir. Eyni formalı bir tənliklə başlasanız, onu yenidən iki binomiala ayıra bilərsiniz.

Əgər tənlik bu qaydada yazılmayıbsa, şərtləri uyğun mövqeyə keçirin. Məsələn, yenidən yazın 3x - 10 + x² kimi x² + 3x - 10.
Ən böyük göstərici 2 (x², bu ifadəyə "kvadratik" deyilir.

Addım 3. Təqdim olunan metodun cavabı üçün yer ayırın

Hələlik sadəcə yaz (__ __) (__ __) cavab üçün ayrılmış məkanda. Tezliklə bu sahələri dolduracağıq.

Hələ boş ifadələr arasına + və ya işarələri qoymayın, çünki hansının istifadə ediləcəyini bilmirik

Addım 4. İlk şərtləri daxil edin

Trinomialınızın ilk müddətinin yalnız x olduğu sadə problemlərdə², birinci mövqenin şərtləri həmişə olacaq x və x. Bunlar x faktorlarıdır², çünki x dəfə x = x².

Bizim nümunəmiz, x² + 3x - 10, x ilə başlayır², sonra yaza bilərik:
(x __) (x __)
Növbəti hissədə 6x kimi bir terminlə başlayan trinomiallar da daxil olmaqla daha mürəkkəb problemlərə baxacağıq.²və ya -x². Hələlik, nümunə problemini izləyin.

Addım 5. Son şərtləri təxmin etmək üçün faktorizasiyadan istifadə edin

Geri qayıdıb əvvəlcə istifadə olunan metodu yenidən oxusanız, son şərtlərin vurulmasının polinomdakı son xanı verdiyini (x olmayan biri) görərsiniz. Beləliklə, son termini yaratmaq üçün çarpan iki ədəd tapmalıyıq.

Bizim nümunəmizdə x² + 3x - 10, son dövr -10.
-10 amilləri nələrdir? Hansı iki ədəd birlikdə vurularaq -10 olur?
Bir neçə variant var: -1 dəfə 10, 1 dəfə -10, -2 dəfə 5 və ya 2 dəfə -5. Unutmamaq üçün bu cütləri bir yerə yazın.
Cavabı hələ dəyişməyin. Hələ belə görünür: (x __) (x __).

Addım 6. Hansı imkanların xarici və daxili vurma ilə işlədiyini sınayın

Son şərtləri bir neçə ehtimala endirdik. Hər birini xarici və daxili şərtləri vuraraq sınayın, sonra nəticəni üçbucaqlı ilə müqayisə edin. Misal üçün:

Orijinal problemimizin "x" termini "3x" dir, buna görə testdə əldə etmək istədiyimiz budur.
Test -1 və 10: (x -1) (x+10). Xarici + daxili dəyər = 10x - x = 9x. Yox.
Test 1 və -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Bu düzgün deyil. Əslində, -1 və 10 testlərindən sonra bilirsiniz ki, 1 və -10 cavabı yuxarıdakı nəticənin tam əksinə olacaq: 9x yerinə -9x.
Test -2 və 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Bu orijinal polinomla uyğun gəlir, buna görə də düzgün cavab budur: (x-2) (x+5).
Bu kimi sadə hallarda, x -in qarşısında sabit olmadıqda², bir qısayol istifadə edə bilərsiniz: iki faktoru əlavə edin və (-2+5 → 3x) sonra "x" qoyun. Bu daha mürəkkəb məsələlərlə işləməyəcək, buna görə də yuxarıda təsvir edilən yolu tam xatırlamaq yaxşıdır.

Metod 2 /3: Daha mürəkkəb üçbucaqlı faktorların hazırlanması

Addım 1. Daha mürəkkəb problemləri asanlaşdırmaq üçün sadə faktorinqdən istifadə edin

Deyək ki, faktora ehtiyacınız var 3x² + 9x30. Hər üç termini (onların "ən böyük ortaq bölücüləri" və ya MDC) təsir edən bir sıra axtarın. Bu vəziyyətdə 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Yəni 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Bu məqalənin əvvəlindəki addımlardan istifadə edərək yeni üçlüləri ayıra bilərik. Cavab olacaq (3) (x-2) (x+5).

Addım 2. Daha ətraflı faktorları axtarın

Bəzən faktor dəyişənləri ehtiva edə bilər və ya mümkün olan ən sadə ifadəni tapana qədər bir neçə dəfə faktora ehtiyacınız ola bilər. Budur bəzi nümunələr:

2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26 dəfə² = (x²)(x² + 11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Əvvəldən addımları istifadə edərək, yeni trinomialı bir dəfə daha nəzərə almağı unutmayın. Cavabınızı yoxlayın və bu məqalənin sonuna yaxın oxşar məsələləri tapın.

Addım 3. X -in qarşısındakı rəqəmlə problemləri həll edin².

Bəzi kvadrat üçbucaqlılar, ən asan problem növünə çatana qədər sadələşdirilə bilməz. 3x kimi problemləri necə həll edəcəyinizi öyrənin² + 10x + 8 və sonra məqalənin sonundakı nümunə problemləri ilə özünüzü tətbiq edin:

Cavabı toplayın: (__ __)(__ __)
İlk terminlərin hər birinin "x" işarəsi var və vurulduqda 3x ilə nəticələnir². Burada yalnız bir mümkün variant var: (3x __) (x __).
8 -in faktorlarını sadalayın. Seçimlərimiz 1 dəfə 8 və ya 2 dəfə 4 -dür.
Xarici və içindəki terminləri istifadə edərək onları sınayın. Xarici amilin "x" ilə deyil, "3x" ilə vurulduğundan, faktorların sırasının vacib olduğunu unutmayın. Kənardan + 10x ərzində nəticə əldə edənə qədər bütün imkanları sınayın (orijinal problemə görə):
(3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Yox.
(3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Yox.
(3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Yox.
(3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Bəli, bu doğru faktordur.

Addım 4. Yüksək dərəcəli trinomiallar üçün əvəz istifadə edin

Riyaziyyat dərsliyiniz yüksək x eksponensial tənliyi ilə sizi təəccübləndirə bilər⁴problemi asanlaşdırmaq üçün sadə faktorizasiyadan istifadə etdikdən sonra da. Tənliyi həll edə biləcəyiniz bir şeyə çevirən yeni bir dəyişənlə əvəz etməyə çalışın. Misal üçün:

x⁵+13x³+36x
= (x) (x⁴+13x²+36)
Yeni bir dəyişən icad edək. Y = x olduğunu söyləyəcəyik² və əvəz etmələri edəcəyik:
(x) (y²+13y+36)
= (x) (y+9) (y+4). İndi orijinal dəyişəndən istifadə etməyə qayıdın:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metod 3 /3: Xüsusi Hallarda Faktorinq

Addım 1. Əsas ədədləri axtarın

Trinomialın birinci və ya üçüncü müddətindəki sabitin bir ədəd olub olmadığını yoxlayın. Əsas ədəd yalnız özü ilə bərabər bölünə bilər və buna görə də yalnız bir cüt cüt faktor var.

Məsələn, x -də² + 6x + 5, "5" sadə bir rəqəmdir, buna görə binomial belə olmalıdır: (__ 5) (__ 1).
3x problemində²+10x+8, 3 bir ədəddir, buna görə binomial belə olmalıdır: (3x __) (x __).
3x problemi üçün²+4x+1, həm "3" həm də "1" sadə ədədlərdir, buna görə yeganə həll yolu (3x+1) (x+1) dir. (Bəzi ifadələr faktorlaşdırıla bilmədiyi üçün hesablamanızı yoxlamaq üçün hələ də bu çarpmanı yerinə yetirməlisiniz - məsələn, 3x2 + 100x + 1 faktorları yoxdur).

Addım 2. Trinomialın mükəmməl bir kvadrat olduğunu yoxlayın

Mükəmməl bir kvadrat üçbucağı iki eyni binomiala bölünə bilər və faktor ümumiyyətlə (x+1) olaraq yazılır², (x+1) (x+1) yerinə. İşdə çətinlik çəkməyə meylli olanlardan bəziləri:

x²+2x+1 = (x+1)²və x²-2x+1 = (x-1)²
x²+4x+4 = (x+2)²və x²-4x+4 = (x-2)²
x²+6x+9 = (x+3)²və x²-6x+9 = (x-3)²
Mükəmməl bir kvadrat şəklində x x şəklində² + bx + c, "a" və "c" terminləri həmişə pozitiv mükəmməl kvadratlardır (1, 4, 9, 16 və ya 25 kimi) və b (müsbət və ya mənfi) termini həmişə 2 -ə bərabərdir (√a * √c).

Addım 3. Heç bir həll olmadığını yoxlayın

Bütün trinomialları faktorlaşdırmaq olmaz. Kvadrat trinomiala (baltaya) yapışmısınızsa²+bx+c), nəticəni tapmaq üçün kvadratik düsturdan istifadə edin. Yeganə cavab mənfi sayın kvadrat köküdürsə, real həll yoxdur, buna görə heç bir amil yoxdur.

Kvadrat olmayan üçbucaqlılar üçün göstərişlər bölməsində təsvir olunan Eisenstein kriteriyasından istifadə edin

Cavablar və Problem Nümunələri

Ən mürəkkəb faktorinq problemlərinə cavablar.

Bunlar "daha mürəkkəb" üçbucaqlı hissələrdəki problemlərdir. Onları sadələşdirmişik, bu da onları daha asan bir problemə çevirmişdir. İndi əvvəldən addımları istifadə edərək onları həll etməyə çalışın, sonra burada hesablamalarınızı yoxlayın:
- (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Daha mürəkkəb faktorinq problemlərini həll etməyə çalışın.

Bu problemlərin hər bir dövrdə ortaq bir amili vardır ki, əvvəlcə nəzərə alınmalıdır. Cavabı görmək və hesablamalarınızı yoxlamaq üçün bərabər işarələrdən sonra boşluğu vurğulayın:
- 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) answer cavabınızı görmək üçün bu boşluğu vurğulayın
- -5x³y²+30x²y²-25y²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
Çətin problemlərlə məşq edin.

Bu problemləri daha asan tənliklərə daxil etmək mümkün deyil, buna görə test edərək (_x + __) (_ x + __) şəklində bir cavab hazırlamalı olacaqsınız:
- 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) ← cavabı görmək üçün seçin
- 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (İpucu: 9x üçün bir neçə faktordan daha çox cəhd etməyiniz lazım ola bilər).
İpuçları
- Kvadrat üçbucağı (balta) necə əmsal etməyi bilmirsinizsə²+bx+c), x -in dəyərini tapmaq üçün kvadratik düsturdan istifadə edə bilər.
- Bunu necə edəcəyinizi bilməyinizə ehtiyac olmasa da, bir polinomun azaldılmadığını və faktorlaşdırıla bilməyəcəyini tez bir zamanda təyin etmək üçün Eisenstein kriteriyasından istifadə edə bilərsiniz. Bu meyar hər hansı bir polinom üçün keçərlidir, ancaq trinomiallarla xüsusilə yaxşı işləyir. Son iki şərti bərabər şəkildə bölən və aşağıdakı şərtləri yerinə yetirən bir "p" baş sayı varsa, polinom endirilməzdir:
  - Sabit termin (dəyişən yoxdur) p -nin çoxluğudur, lakin p deyil.².
  - Əsas termin (məsələn, baltada "a")²+bx+c) p -nin çoxluğu deyil.
  - Məsələn, 14x² + 45x + 51 endirilə bilməz, çünki 45 və 51 -i bərabər şəkildə bölən, lakin 14 -ə bölünməyən və 3 -ə bərabər bölünə bilməyən (3) bir ədəd olduğu üçün.².
Bildirişlər
- Bu, kvadratik tənliklər üçün doğru olsa da, faktorlu üçlülər mütləq iki binomun məhsulu deyildir. Məsələn: x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).

Mündəricat: